1から5までの数字が書かれた5枚のカードが入った箱から、カードを1枚取り出し、数字を記録して元に戻す試行を行う。 (1) この試行を2回行うときの確率を求める。 (2) この試行を3回行い、数字を記録した順に百の位、十の位、一の位として3桁の数を作るときの確率を求める。 (3) この試行を4回行い、取り出した4枚のカードの数字の和が16以上であるとき、取り出したカードの数字が2種類である確率を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5枚のカードが入った箱から、カードを1枚取り出し、数字を記録して元に戻す試行を行う。

(1) この試行を2回行うときの確率を求める。

(2) この試行を3回行い、数字を記録した順に百の位、十の位、一の位として3桁の数を作るときの確率を求める。

(3) この試行を4回行い、取り出した4枚のカードの数字の和が16以上であるとき、取り出したカードの数字が2種類である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 2回続けて同じ数字が書かれたカードが取り出される確率は、1回目にどの数字が出ても、2回目に同じ数字が出る確率を考えればよいので、

$1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$

よって、ア=1, イ=5

(ii) 3の数字が書かれたカードが1回も取り出されない確率は、1回に3以外の数字が出る確率が$\frac{4}{5}$であるため、2回とも3以外の数字が出る確率は、

$\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$

よって、ウエ=16, オカ=25

(2)

(i) 3桁の数が偶数である確率は、一の位が偶数であればよい。一の位が偶数である確率は、一の位が2か4である確率なので、$\frac{2}{5}$

よって、キ=2, ク=5

(ii) 3桁の数が234以上になる確率を求める。

百の位が2の場合、十の位が3以上であればよい。十の位が3以上の確率は$\frac{3}{5}$。さらに一の位はどんな数字でも条件を満たすので、確率は$\frac{3}{5} \times 1 = \frac{3}{5}$

百の位が3以上の場合は条件を満たすので、$\frac{3}{5}$。

以上より、求める確率は、$\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{3}{5}= \frac{3}{5} \times \frac{1}{5}+ \frac{3}{5} = \frac{3}{25}+\frac{15}{25}=\frac{18}{25}$

よって、ケコ=18, サシス=25

(3)

4回の試行で、取り出した4枚のカードの数字の和が16以上であり、かつ取り出したカードの数字が2種類である場合を考える。

和が16以上になる組み合わせは、

{3,3,5,5} 和:16, {2種類}

{4,4,4,4} 和:16, {1種類}

{3,4,4,5} 和:16, {3種類}

{3,5,4,4} 和:16, {3種類}

{4,4,5,3} 和:16, {3種類}

{5,5,3,3} 和:16, {2種類}

{4,5,5,2} 和:16, {3種類}

{3,4,5,5}和:17, {3種類}

{4,4,5,4}和:17, {2種類}

{5,5,5,1}和:16, {2種類}

{5,4,5,4}和:18, {2種類}

{5,5,5,2}和:17, {2種類}

{5,5,5,3}和:18, {2種類}

{5,5,5,4}和:19, {2種類}

{5,5,5,5}和:20, {1種類}

4枚の和が16以上となるのは、

(5,5,5,1), (5,5,4,2), (5,5,3,3), (5,5,5,5), (4,4,4,4), など。このうち、2種類となるのは

{5,5,5,1}, {5,5,4,2}, {5,5,3,3}

{4,4,5,3}, {4,4,4,4}, {5,4,5,4}

{4,4,3,3}

4回の試行で和が16以上となる全事象を考える。これは難しいので、条件付き確率を考える。

取り出したカードの数字が2種類であるという条件のもとで、4枚のカードの数字の和が16以上になる確率を考える。

2種類のカードの組み合わせは、(1,5),(2,4),(3,3), .. とたくさんある。

{3,3,5,5}の並び方は、$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り。

{5,5,5,1}の並び方は、$\frac{4!}{3!} = 4$通り。

{5,5,4,2}の並び方は、$\frac{4!}{2!} = 12$通り。

4枚のカードの和が16以上になる全パターンを求めるのが難しい。

この問題は飛ばします。

3. 最終的な答え

(1)(i) ア=1, イ=5

(1)(ii) ウエ=16, オカ=25

(2)(i) キ=2, ク=5

(2)(ii) ケコ=18, サシス=25

(3) セソ=?, タチ=? (解けませんでした)