与えられた2つの代数方程式を解きます。 (1) $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$ (2) $x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの代数方程式を解きます。

(1) $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$

(2) $x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

3次方程式$x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$ を解きます。

まず、整数解を探します。定数項24の約数を調べます。

$x = 2$ を代入すると、$2^3 - 3(2^2) - 10(2) + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0$ となるので、$x=2$は解の一つです。

したがって、$x-2$ は因数です。多項式を$x-2$で割ります。

$(x^3 - 3x^2 - 10x + 24) \div (x-2) = x^2 - x - 12$

よって、$x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = (x-2)(x^2 - x - 12) = 0$

$x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3) = 0$ より、$x=4$ または $x=-3$

したがって、解は $x = 2, 4, -3$ です。

(2)

4次方程式$x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = 0$ を解きます。

整数解を探します。定数項12の約数を調べます。

$x = 2$ を代入すると、$2^4 - 9(2^2) + 4(2) + 12 = 16 - 36 + 8 + 12 = 0$ となるので、$x=2$は解の一つです。

$x = -2$ を代入すると,$(-2)^4 - 9(-2)^2 + 4(-2) + 12 = 16 - 36 - 8 + 12 = -16 \neq 0$

$x = -3$ を代入すると,$(-3)^4 - 9(-3)^2 + 4(-3) + 12 = 81 - 81 - 12 + 12 = 0$

したがって、$x=2, -3$は解の一つです。

したがって、$(x-2)(x+3)$ は因数です。多項式を$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$で割ります。

$(x^4 - 9x^2 + 4x + 12) \div (x^2 + x - 6) = x^2 - x - 2$

よって、$x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x^2 + x - 6)(x^2 - x - 2) = 0$

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0$ より、$x=2$ または $x=-1$

したがって、解は $x = 2, -3, -1$ です。

$x=2$ は重解です。

したがって、解は $x = 2, -3, -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, 4, -3$

(2) $x = 2, -1, -3$