座標平面上に3点A(-1, 1), B(2, -5), C(5, 4)がある。 (1) 2点A, B間の距離を求めよ。 (2) △ABCについて、空欄を埋めよ。選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点A(-1, 1), B(2, -5), C(5, 4)がある。

(1) 2点A, B間の距離を求めよ。

(2) △ABCについて、空欄を埋めよ。選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を利用する。

$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 1)^2}$

$AB = \sqrt{(3)^2 + (-6)^2}$

$AB = \sqrt{9 + 36}$

$AB = \sqrt{45}$

$AB = \sqrt{9 \times 5}$

$AB = 3\sqrt{5}$

(2) △ABCの形状を調べるために、各辺の長さを求める。

$AB = 3\sqrt{5}$（上記で計算済み）

$AC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$AB = AC$ より、△ABCは二等辺三角形である。

次に、角Aを求める。

$AB^2 + AC^2 = (3\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 45 + 45 = 90$

$BC^2 = (3\sqrt{10})^2 = 90$

したがって、$AB^2 + AC^2 = BC^2$ であるから、△ABCは∠A=90°の直角二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $AB = 3\sqrt{5}$

(2) △ABCは∠A=90°、AB=ACの直角二等辺三角形である。