(1) 2点 $A(1, -3)$ と $B(-2, y)$ 間の距離が $\sqrt{13}$ であるとき、$y$ の値を求める。 (2) 2点 $A(-1, 2)$ と $B(3, 4)$ から等距離にある $x$ 軸上の点 $P$ の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 $A(1, -3)$ と $B(-2, y)$ 間の距離が $\sqrt{13}$ であるとき、$y$ の値を求める。

(2) 2点 $A(-1, 2)$ と $B(3, 4)$ から等距離にある $x$ 軸上の点 $P$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を利用する。

$AB = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (y - (-3))^2} = \sqrt{13}$

$\sqrt{(-3)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{13}$

$\sqrt{9 + (y + 3)^2} = \sqrt{13}$

両辺を2乗して、$9 + (y + 3)^2 = 13$

$(y + 3)^2 = 4$

$y + 3 = \pm 2$

$y = -3 \pm 2$

$y = -1, -5$

(2) $x$軸上の点 $P$ の座標を $(x, 0)$ とする。

$AP = \sqrt{(x - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 4}$

$BP = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16}$

$AP = BP$ より、$AP^2 = BP^2$

$(x + 1)^2 + 4 = (x - 3)^2 + 16$

$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 6x + 9 + 16$

$x^2 + 2x + 5 = x^2 - 6x + 25$

$8x = 20$

$x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

よって、$P$ の座標は $(\frac{5}{2}, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $y = -1, -5$

(2) $P(\frac{5}{2}, 0)$