$\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を $n$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を $n$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sum$ の中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+n) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + nk)$

次に、$\sum$ を分配法則で分けます。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + nk) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} nk$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} nk$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ は平方数の和の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} nk$ は、$n$ が $k$ に関係ない定数なので、$n$ を $\sum$ の外に出せます。

$\sum_{k=1}^{n} nk = n \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は自然数の和の公式を使います。

$n \sum_{k=1}^{n} k = n \frac{n(n+1)}{2}$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $n(n+1)$ でくくります。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n^2(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1 + 3n)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$