$\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+n) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + nk) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + n\sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + n\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{6}$ でくくります。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n^2(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3n)$

括弧の中を整理します。

$\frac{n(n+1)}{6} (5n+1)$

よって、答えは $\frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$