$x < y$ のとき、$x < \frac{4x+3y}{7} < y$ を証明します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$x < y$ のとき、$x < \frac{4x+3y}{7} < y$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、$x < \frac{4x+3y}{7}$ を証明します。

$x < \frac{4x+3y}{7}$ の両辺に $7$ を掛けると、

$7x < 4x + 3y$

$3x < 3y$

$x < y$

これは仮定と同じなので、$x < \frac{4x+3y}{7}$ が成り立ちます。

次に、$\frac{4x+3y}{7} < y$ を証明します。

$\frac{4x+3y}{7} < y$ の両辺に $7$ を掛けると、

$4x + 3y < 7y$

$4x < 4y$

$x < y$

これも仮定と同じなので、$\frac{4x+3y}{7} < y$ が成り立ちます。

したがって、$x < \frac{4x+3y}{7} < y$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$x < \frac{4x+3y}{7} < y$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$3x^2 \geq 5y(3x-4y)$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、不等式を変形します。

$3x^2 \geq 15xy - 20y^2$

$3x^2 - 15xy + 20y^2 \geq 0$

次に、左辺を平方完成します。

$3(x^2 - 5xy) + 20y^2 \geq 0$

$3(x^2 - 5xy + (\frac{5}{2}y)^2) - 3(\frac{5}{2}y)^2 + 20y^2 \geq 0$

$3(x - \frac{5}{2}y)^2 - \frac{75}{4}y^2 + 20y^2 \geq 0$

$3(x - \frac{5}{2}y)^2 + \frac{80 - 75}{4}y^2 \geq 0$

$3(x - \frac{5}{2}y)^2 + \frac{5}{4}y^2 \geq 0$

$(x - \frac{5}{2}y)^2$ は常に非負であり、$y^2$ も常に非負です。したがって、$3(x - \frac{5}{2}y)^2 + \frac{5}{4}y^2$ は常に非負となります。よって、$3x^2 \geq 5y(3x-4y)$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$3x^2 \geq 5y(3x-4y)$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$5\sqrt{a} + 3\sqrt{b} > \sqrt{25a + 9b}$ を証明します。ただし、$a > 0$, $b > 0$ とします。

2. 解き方の手順

不等式の両辺は正なので、両辺を2乗して考えます。

$(5\sqrt{a} + 3\sqrt{b})^2 > (\sqrt{25a + 9b})^2$

$25a + 30\sqrt{ab} + 9b > 25a + 9b$

$30\sqrt{ab} > 0$

$a > 0$ かつ $b > 0$ より、$\sqrt{ab} > 0$ なので、$30\sqrt{ab} > 0$ は常に成り立ちます。したがって、$5\sqrt{a} + 3\sqrt{b} > \sqrt{25a + 9b}$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$5\sqrt{a} + 3\sqrt{b} > \sqrt{25a + 9b}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a} \geq \sqrt{6}$ を証明します。ただし、$a > 0$, $b > 0$ とします。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$, $y > 0$ のとき、$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立ちます。

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a}$ に相加相乗平均の不等式を適用すると、

$\frac{\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a}}{2} \geq \sqrt{\frac{3a}{b} \cdot \frac{b}{2a}}$

$\frac{\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a}}{2} \geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a} \geq 2\sqrt{\frac{3}{2}}$

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a} \geq 2\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a} \geq \sqrt{6}$

したがって、$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a} \geq \sqrt{6}$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{2a} \geq \sqrt{6}$