問題は3つの大問から構成されています。 - 大問2は、与えられた条件から式や値を求める問題です。 - (1) $x+y = \sqrt{6}$、 $xy = \frac{3}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値を求めます。 - (2) $x+y = \sqrt{6}$、 $xy = \frac{3}{2}$ のとき、$x$ と $y$ の値を求めます。 - (3) 長さ12mのロープで長方形の土地を囲む時、面積が最大となるABの長さを求めます。 - 大問3は、2次関数の問題です。 - (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x + k$ が最小値3をとるとき、定数$k$の値を求めます。 - (2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ のグラフを$x$軸方向に1、$y$軸方向に2だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$の値を求めます。 - 問題1は2次関数の問題です。 - $f(x) = x^2 + 2ax + b$ があり、グラフが点(1, 8)を通る。 - (1) $b$を$a$を用いて表す。 - (2) グラフの頂点が直線$y = x + 1$上にあるとき、$a$の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は3つの大問から構成されています。

- 大問2は、与えられた条件から式や値を求める問題です。

- (1) $x+y = \sqrt{6}$、 $xy = \frac{3}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値を求めます。

- (2) $x+y = \sqrt{6}$、 $xy = \frac{3}{2}$ のとき、$x$ と $y$ の値を求めます。

- (3) 長さ12mのロープで長方形の土地を囲む時、面積が最大となるABの長さを求めます。

- 大問3は、2次関数の問題です。

- (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x + k$ が最小値3をとるとき、定数$k$の値を求めます。

- (2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ のグラフを$x$軸方向に1、$y$軸方向に2だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$の値を求めます。

- 問題1は2次関数の問題です。

- $f(x) = x^2 + 2ax + b$ があり、グラフが点(1, 8)を通る。

- (1) $b$を$a$を用いて表す。

- (2) グラフの頂点が直線$y = x + 1$上にあるとき、$a$の値を求めます。

2. 解き方の手順

大問3

(1)

$y = 2x^2 + 4x + k = 2(x^2 + 2x) + k = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + k = 2(x + 1)^2 - 2 + k$

この2次関数の最小値は$-2 + k$なので、$-2 + k = 3$。

(2)

$y = x^2 - 2ax + 3$ を$x$軸方向に1、$y$軸方向に2だけ平行移動すると、

$y - 2 = (x - 1)^2 - 2a(x - 1) + 3$

$y = (x - 1)^2 - 2a(x - 1) + 5$

$y = x^2 - 2x + 1 - 2ax + 2a + 5$

$y = x^2 - 2(1 + a)x + 2a + 6$

この放物線が原点(0, 0)を通るので、

$0 = 0^2 - 2(1 + a) \cdot 0 + 2a + 6$

$0 = 2a + 6$

(3)

ABの長さを$x$ mとすると、ADの長さは$\frac{12 - x}{2}$ mとなる。

長方形の面積$y$は、

$y = x \cdot \frac{12 - x}{2} = 6x - \frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}(x^2 - 12x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 12x + 36 - 36) = -\frac{1}{2}(x - 6)^2 + 18$

$y$が最大となるのは、$x = 6$のとき。

問題1

(1)

$f(x) = x^2 + 2ax + b$ が点(1, 8)を通るので、

$f(1) = 1^2 + 2a \cdot 1 + b = 8$

$1 + 2a + b = 8$

$b = 7 - 2a$

(2)

$f(x) = x^2 + 2ax + b = x^2 + 2ax + (7 - 2a) = (x + a)^2 - a^2 + 7 - 2a$

頂点は $(-a, -a^2 - 2a + 7)$

頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるので、

$-a^2 - 2a + 7 = -a + 1$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a + 3)(a - 2) = 0$

$a = -3, 2$

$a > 0$ より、$a = 2$

3. 最終的な答え

大問3

(1) $k = 5$

(2) $a = -3$

(3) 6 m

問題1

(1) $b = 7 - 2a$

(2) $a = 2$