2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表してください。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が8であるとき、$a$ の値を求めてください。また、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めてください。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数とします。$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とします。このとき、$M$ を $t$ を用いて表してください。また、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めてください。

## 問題５

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表してください。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が8であるとき、$a$ の値を求めてください。また、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めてください。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数とします。$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とします。このとき、$M$ を $t$ を用いて表してください。また、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ となります。

(2)

$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考えます。軸 $x = 2$ が区間内にあるので、最小値は頂点でとります。

$a^2 - a - 4 = 8$

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a > 0$ より、$a = 4$

このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 12$

$f(0) = 12$, $f(3) = 3^2 - 4\cdot 3 + 12 = 9 - 12 + 12 = 9$

よって、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値は12です。

(3)

$a = 4$ より、$f(x) = x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8$

$t \le x \le t+3$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を考えます。

(i) $t \le 2 \le t+3$, つまり $-1 \le t \le 2$ のとき、最小値 $m = f(2) = 8$

最大値は、$f(t)$ または $f(t+3)$ の大きい方です。

$f(t) = t^2 - 4t + 12$

$f(t+3) = (t+3)^2 - 4(t+3) + 12 = t^2 + 6t + 9 - 4t - 12 + 12 = t^2 + 2t + 9$

$f(t) - f(t+3) = (t^2 - 4t + 12) - (t^2 + 2t + 9) = -6t + 3$

$-6t + 3 = 0$ より $t = \frac{1}{2}$

$t > \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{1}{2} < t \le 2$ のとき $-6t + 3 < 0$ より $f(t) < f(t+3)$ なので $M = f(t+3) = t^2 + 2t + 9$

(ii) $t > 2$ のとき、区間 $t \le x \le t+3$ で $f(x)$ は単調増加なので、

最小値 $m = f(t) = t^2 - 4t + 12$

最大値 $M = f(t+3) = t^2 + 2t + 9$

(iii) $t+3 < 2$ つまり $t < -1$ は $t > \frac{1}{2}$ に反するので考えません。

以上より、

$\frac{1}{2} < t \le 2$ のとき $M = t^2 + 2t + 9$

$t > 2$ のとき $M = t^2 + 2t + 9$

よって、$t > \frac{1}{2}$ のとき $M = t^2 + 2t + 9$

次に、$M - m = 3$ となる $t$ の値を求めます。

(i) $\frac{1}{2} < t \le 2$ のとき、 $M = t^2 + 2t + 9$, $m = 8$ なので、

$t^2 + 2t + 9 - 8 = 3$

$t^2 + 2t - 2 = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$\frac{1}{2} < t \le 2$ より、$t = -1 + \sqrt{3}$

(ii) $t > 2$ のとき $M = t^2 + 2t + 9$, $m = t^2 - 4t + 12$ なので、

$t^2 + 2t + 9 - (t^2 - 4t + 12) = 3$

$6t - 3 = 3$

$6t = 6$

$t = 1$

$t > 2$ より不適。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$, 最大値: 12

(3) $M = t^2 + 2t + 9$, $t = -1 + \sqrt{3}$