直方体 ABCD-EFGH が与えられており、AB=3, AD=2, AE=1 である。 (1) $\cos{\angle BED}$ の値を求める。 (2) $\triangle BED$ の面積 S を求める。

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH が与えられており、AB=3, AD=2, AE=1 である。

(1) $\cos{\angle BED}$ の値を求める。

(2) $\triangle BED$ の面積 S を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\angle BED}$ を求める。

まず、$\triangle BED$ の各辺の長さを求める。

$BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$

余弦定理より、

$BD^2 = BE^2 + DE^2 - 2 \cdot BE \cdot DE \cdot \cos{\angle BED}$

$13 = 10 + 5 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{\angle BED}$

$13 = 15 - 2 \sqrt{50} \cos{\angle BED}$

$13 = 15 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cos{\angle BED}$

$-2 = -10\sqrt{2} \cos{\angle BED}$

$\cos{\angle BED} = \frac{2}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

(2) $\triangle BED$ の面積 S を求める。

$\sin^2{\angle BED} + \cos^2{\angle BED} = 1$ より、

$\sin^2{\angle BED} = 1 - \cos^2{\angle BED} = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{2}{100} = \frac{98}{100} = \frac{49}{50}$

$\sin{\angle BED} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

$\triangle BED$ の面積 S は、

$S = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot DE \cdot \sin{\angle BED} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{35 \cdot 2}{20} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle BED} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

(2) $\triangle BED$ の面積 $S = \frac{7}{2}$