三角形ABCにおいて、$BC=CD=DE=EA$、$\angle ACB = 108^\circ$ のとき、$\angle BAC$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=CD=DE=EA$、$\angle ACB = 108^\circ$ のとき、$\angle BAC$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCD$, $\triangle CDE$, $\triangle DEA$ はそれぞれ二等辺三角形です。

$\angle CBD = \angle CDB = x$ とおくと、$\angle BCD = 180^\circ - 2x$

$\angle DCE = \angle DEC = y$ とおくと、$\angle CDE = 180^\circ - 2y$

$\angle DAE = \angle ADE = z$ とおくと、$\angle DEA = 180^\circ - 2z$

$\angle ACB = 108^\circ$ なので、$\angle ACE = 108^\circ - \angle BCD = 108^\circ - (180^\circ - 2x) = 2x - 72^\circ$

したがって、$\angle ACE = 2x - 72^\circ = y$

また、$\angle CDA = \angle CDB + \angle ADE = x + z$

$\angle EDC = 180^\circ - 2y$ なので、$180^\circ - 2y + 180^\circ - 2x + 180^\circ - 2z = 360^\circ$

$180^\circ - 2y + x + z = \angle ADC$

三角形ABCの内角の和は180°なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle ABC = x + y$

三角形CDEにおいて、$\angle DCE + \angle DEC + \angle EDC = 180^\circ$

$y + y + \angle CDE = 180^\circ$

$2y + 180^\circ - 2y = 180^\circ$

$\angle ACB = 108^\circ$ より、$\angle BCD + \angle DCE = 108^\circ$

$180^\circ - 2x + y = 108^\circ$

$y = 2x - 72^\circ$

$\angle CDE + \angle EDA = \angle CDA$

$180^\circ - 2y + z = \angle CDA$

$\angle DEA = 180^\circ - 2z$

$\angle DEA + \angle DEC = \angle AEC$

$\angle BCA = 108^\circ$

$\angle BAC = A$

$\angle ABC = B$

$A + B + 108^\circ = 180^\circ$

$A + B = 72^\circ$

$BC = CD = DE = EA$

$\angle CDB = \angle CBD$

$\angle DEC = \angle DCE$

$\angle EAD = \angle EDA$

$\angle ACB = 108^\circ$ より、$\angle CDB + \angle DEC + \angle EAD = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} + 108^\circ - \angle BAC$

$\angle BAC = 36^\circ - \frac{3x}{2}$

$5x = 180 - A$

$x + (2x-72) + A = 72$

$3x - 72 + A = 72$

$3x + A = 144$

$\angle BAC = 36^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 36^\circ$