3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の解について考える問題です。$k=3$ のときの解や、関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ の増減、3つの異なる実数解を持つための $k$ の範囲などを求める必要があります。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の解について考える問題です。$k=3$ のときの解や、関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ の増減、3つの異なる実数解を持つための $k$ の範囲などを求める必要があります。

2. 解き方の手順

(ア, イ): $k=3$ のとき、方程式は $x^3 - 3x^2 + 3 = 3$ となり、$x^3 - 3x^2 = 0$ すなわち $x^2(x - 3) = 0$ となります。よって、$x = 0$ または $x = 3$ です。ア < イ より、ア=0, イ=3。

(ウ, エ): $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ より、$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$。よって、ウ=3, エ=6。

(オ, カ): $f'(x) = 3x(x - 2)$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = 2$ のときです。増減表を考えると、$x < 0$ で $f'(x) > 0$, $0 < x < 2$ で $f'(x) < 0$, $x > 2$ で $f'(x) > 0$ となるため、$x = 0$ で極大値、 $x = 2$ で極小値を取ります。よって、オ=0, カ=2。

(キ): 方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の実数解は、$y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ のグラフと $y = k$ のグラフの共有点の $x$ 座標です。よって、キは「曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = k$ の共有点の $x$ 座標」であり、解答群0が該当します。

(クケ, コ): $x = 0$ で極大値 $f(0) = 3$、$x = 2$ で極小値 $f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1$ をとります。$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが異なる3つの共有点を持つのは、$f(2) < k < f(0)$ のとき、すなわち $-1 < k < 3$ のときです。 問題文のクケ < k < コ　の形に合わせて答えを書き換えます。クケ = -1, コ = 3　となります。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 3

ウ: 3

エ: 6

オ: 0

カ: 2

キ: 0

クケ: -1

コ: 3