関数 $y = 2x^2$ 上にy座標が等しい2点A, Bがあり、関数 $y = -x^2$ 上に2点C, Dがある。AとD、BとCのx座標はそれぞれ等しい。これら4点を結んで長方形ABCDを作る。 (1) 点Aのx座標が2のとき、ADの長さを求めよ。 (2) 長方形ABCDが正方形になるとき、点Aのx座標を求めよ。 (3) BCとx軸との交点をEとし、直線AEと関数 $y = 2x^2$ のグラフとの交点のうち、Aでない方をFとする。Aのx座標をaとするとき、三角形OCFの面積をaを用いて表せ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ 上にy座標が等しい2点A, Bがあり、関数 $y = -x^2$ 上に2点C, Dがある。AとD、BとCのx座標はそれぞれ等しい。これら4点を結んで長方形ABCDを作る。

(1) 点Aのx座標が2のとき、ADの長さを求めよ。

(2) 長方形ABCDが正方形になるとき、点Aのx座標を求めよ。

(3) BCとx軸との交点をEとし、直線AEと関数 $y = 2x^2$ のグラフとの交点のうち、Aでない方をFとする。Aのx座標をaとするとき、三角形OCFの面積をaを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aのx座標が2なので、Aのy座標は $y = 2 \cdot 2^2 = 8$。

Dのx座標も2なので、Dのy座標は $y = -2^2 = -4$。

したがって、ADの長さは $8 - (-4) = 12$。

(2) 点Aのx座標をtとすると、Aのy座標は $2t^2$、Dのy座標は $-t^2$。

よって、ADの長さは $2t^2 - (-t^2) = 3t^2$。

また、ABの長さは、Aのx座標がtなので、Bのx座標は -t。したがってABの長さは $t - (-t) = 2t$。

長方形ABCDが正方形になるので、$3t^2 = 2t$。

$3t^2 - 2t = 0$

$t(3t - 2) = 0$

$t = 0$ または $t = \frac{2}{3}$。

Aのx座標は正なので、$t = \frac{2}{3}$。

(3) Bのx座標は-a, y座標は $2a^2$。

Cのx座標は-a, y座標は $-a^2$。

EはBCの中点なので、Eの座標は $(-a, 0)$。

A(a, $2a^2$)とE(-a, 0)を通る直線の式は、

傾きは $(2a^2 - 0) / (a - (-a)) = 2a^2 / 2a = a$。

よって、直線AEの式は $y = a(x + a) = ax + a^2$。

Fは直線AEと $y = 2x^2$ の交点なので、

$2x^2 = ax + a^2$

$2x^2 - ax - a^2 = 0$

$(2x + a)(x - a) = 0$

$x = a$ または $x = -\frac{a}{2}$。

FはAでない方の交点なので、Fのx座標は $-\frac{a}{2}$。

Fのy座標は $y = 2 (-\frac{a}{2})^2 = 2 \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$。

したがって、Fの座標は $(-\frac{a}{2}, \frac{a^2}{2})$。

三角形OCFの面積は、OCを底辺とすると、高さはFのx座標の絶対値。

OCの長さは $a^2$。高さは $\frac{a}{2}$。

したがって、三角形OCFの面積は $\frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $\frac{a^3}{4}$