原点O、点A(6, 2)、点B(2, 4)を頂点とする三角形OABについて、 (1) 3辺の長さを求める。 (2) 三角形OABが直角二等辺三角形であることを示す。

1. 問題の内容

原点O、点A(6, 2)、点B(2, 4)を頂点とする三角形OABについて、

(1) 3辺の長さを求める。

(2) 三角形OABが直角二等辺三角形であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 3辺の長さを求める。（問題文に解答が書いてありますが、計算で求めます。）

点A(x1, y1)、点B(x2, y2)間の距離は $\sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}$ で計算できます。

OAの長さ:

$OA = \sqrt{(6-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

OBの長さ:

$OB = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

ABの長さ:

$AB = \sqrt{(2-6)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(2) 三角形OABが直角二等辺三角形であることを示す。

まず、二等辺三角形であることを示すために、2辺の長さが等しいことを確認する。

$OB = AB = 2\sqrt{5}$ であるから、三角形OABは二等辺三角形である。

次に、直角三角形であることを示すために、ピタゴラスの定理を満たすことを確認する。

$OA^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40$

$OB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$

$AB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$

$OB^2 + AB^2 = 20 + 20 = 40 = OA^2$

よって、$OA^2 = OB^2 + AB^2$ が成り立つので、三角形OABは角Bが直角の直角三角形である。

以上より、三角形OABは直角二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $OA = 2\sqrt{10}$, $OB = 2\sqrt{5}$, $AB = 2\sqrt{5}$

(2) 三角形OABは直角二等辺三角形である。