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正六角形 ABCDEF において、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{b}$とする。 (1) $\overrightarrow{BF}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{DB}$を$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$で表せ。 (2) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{q}$とするとき、$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$で表せ。

幾何学ベクトル正六角形ベクトルの加法ベクトルの減法
2025/8/12

1. 問題の内容

正六角形 ABCDEF において、AB→=a→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}、AF→=b→\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{b}とする。
(1) BF→\overrightarrow{BF}、AC→\overrightarrow{AC}、DB→\overrightarrow{DB}をa→\overrightarrow{a}、b→\overrightarrow{b}で表せ。
(2) AC→=p→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{p}、AE→=q→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{q}とするとき、a→\overrightarrow{a}、b→\overrightarrow{b}をp→\overrightarrow{p}、q→\overrightarrow{q}で表せ。

2. 解き方の手順

(1)
まず、BF→\overrightarrow{BF}について考えます。BF→=BA→+AF→=−AB→+AF→\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}なので、
BF→=−a→+b→=b→−a→\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}
次に、AC→\overrightarrow{AC}について考えます。AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}であり、BC→\overrightarrow{BC}はAF→\overrightarrow{AF}と平行で長さが等しいので、BC→=AF→=b→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{b}。
したがって、AC→=AB→+BC→=a→+b→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
最後に、DB→\overrightarrow{DB}について考えます。DB→=DA→+AB→\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}であり、DA→=2FA→\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{FA}。
よって、DA→=−2AF→=−2b→\overrightarrow{DA}=-2\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{b}
したがって、DB→=DA→+AB→=−2b→+a→=a→−2b→\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}
(2)
AC→=p→=a→+b→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
AE→=q→=AF→+FE→=AF→+2AB→=b→+2a→=2a→+b→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{q} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AF} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
p→=a→+b→\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
q→=2a→+b→\overrightarrow{q} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
この連立方程式を解くことで、a→\overrightarrow{a}とb→\overrightarrow{b}をp→\overrightarrow{p}、q→\overrightarrow{q}で表すことができます。
q→−p→=(2a→+b→)−(a→+b→)=a→\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p} = (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a}
a→=q→−p→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}
p→=a→+b→=(q→−p→)+b→\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) + \overrightarrow{b}
b→=p→−(q→−p→)=2p→−q→\overrightarrow{b} = \overrightarrow{p} - (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) = 2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q}

3. 最終的な答え

(1)
BF→=b→−a→\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}
AC→=a→+b→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
DB→=a→−2b→\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}
(2)
a→=q→−p→\overrightarrow{a} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}
b→=2p→−q→\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q}

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