与えられた各組のベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるかどうかを判定する。2つのベクトルが垂直であるのは、内積が0の場合である。

1. 問題の内容

与えられた各組のベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるかどうかを判定する。2つのベクトルが垂直であるのは、内積が0の場合である。

2. 解き方の手順

各組のベクトルについて、内積を計算する。ベクトルの内積は、対応する成分同士の積の和で求められる。

(1) $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (-3, 2)$の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (3)(2) = -6 + 6 = 0$

(2) $\vec{a} = (1, 1)$, $\vec{b} = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1)$の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\sqrt{3}-1) + (1)(-\sqrt{3}-1) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 = -2$

(3) $\vec{a} = (3, 1, -2)$, $\vec{b} = (2, 3, 1)$の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(3) + (-2)(1) = 6 + 3 - 2 = 7$

(4) $\vec{a} = (2, \sqrt{6}, -\sqrt{2})$, $\vec{b} = (-\sqrt{6}, -3, \sqrt{3})$の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-\sqrt{6}) + (\sqrt{6})(-3) + (-\sqrt{2})(\sqrt{3}) = -2\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = -6\sqrt{6}$

内積が0となるのは、(1)の場合のみである。

3. 最終的な答え

(1) 垂直

(2) 垂直ではない

(3) 垂直ではない

(4) 垂直ではない