与えられたベクトルの内積と、それらのベクトルがなす角 $\theta$ を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (-3, 2)$ (2) $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1)$ (3) $\vec{a} = (3, 1, -2), \vec{b} = (2, 3, 1)$ (4) $\vec{a} = (2, \sqrt{6}, -\sqrt{2}), \vec{b} = (-\sqrt{6}, -3, \sqrt{3})$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの内積と、それらのベクトルがなす角 $\theta$ を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (-3, 2)$

(2) $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1)$

(3) $\vec{a} = (3, 1, -2), \vec{b} = (2, 3, 1)$

(4) $\vec{a} = (2, \sqrt{6}, -\sqrt{2}), \vec{b} = (-\sqrt{6}, -3, \sqrt{3})$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積と、ベクトルのなす角を求める手順は以下の通りです。

(1) ベクトルの内積を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$

(2) 各ベクトルの大きさを求める。

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2}$

(3) 内積の定義を用いて、なす角 $\theta$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\theta = \cos^{-1}{\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}}$

以下、各問題について計算を行います。

(1) $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (-3, 2)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (3)(2) = -6 + 6 = 0$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

$\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{13} \sqrt{13}} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

(2) $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\sqrt{3}-1) + (1)(-\sqrt{3}-1) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 = -2$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\vec{a} = (3, 1, -2), \vec{b} = (2, 3, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(3) + (-2)(1) = 6 + 3 - 2 = 7$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$\cos{\theta} = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

(4) $\vec{a} = (2, \sqrt{6}, -\sqrt{2}), \vec{b} = (-\sqrt{6}, -3, \sqrt{3})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-\sqrt{6}) + (\sqrt{6})(-3) + (-\sqrt{2})(\sqrt{3}) = -2\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = -6\sqrt{6}$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 6 + 2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 9 + 3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{-6\sqrt{6}}{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{6}}{6\sqrt{6}} = -1$

$\theta = \pi$

3. 最終的な答え

(1) 内積: 0, なす角: $\frac{\pi}{2}$

(2) 内積: -2, なす角: $\frac{2\pi}{3}$

(3) 内積: 7, なす角: $\frac{\pi}{3}$

(4) 内積: $-6\sqrt{6}$, なす角: $\pi$