2点 A(4, 0), B(0, 2) について、以下のものを求めます。 (1) 直線 AB の方程式 (2) 線分 AB の垂直二等分線の方程式

1. 問題の内容

2点 A(4, 0), B(0, 2) について、以下のものを求めます。

(1) 直線 AB の方程式

(2) 線分 AB の垂直二等分線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 直線 AB の方程式を求める。

2点 (x1, y1) と (x2, y2) を通る直線の方程式は、

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

で与えられます。A(4, 0), B(0, 2) を代入すると、

$\frac{y - 0}{x - 4} = \frac{2 - 0}{0 - 4}$

$\frac{y}{x - 4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$2y = -x + 4$

$x + 2y - 4 = 0$

(2) 線分 AB の垂直二等分線の方程式を求める。

まず、線分 AB の中点 M の座標を求めます。中点の座標は、

$M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

で与えられます。A(4, 0), B(0, 2) を代入すると、

$M(\frac{4 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = M(2, 1)$

次に、直線 AB の傾きを求めます。直線 AB の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数に -1 をかけたものなので、

垂直二等分線の傾きは 2 です。

中点 M(2, 1) を通り、傾きが 2 の直線の方程式は、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 1 = 2(x - 2)$

$y - 1 = 2x - 4$

$2x - y - 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 直線 AB : $x + 2y - 4 = 0$

(2) 線分 AB の垂直二等分線 : $2x - y - 3 = 0$