(1) ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{5}$ であるベクトルを求めます。 (2) ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直な単位ベクトルを求めます。 (3) 2つのベクトル $\vec{a} = (x, y, 2)$ と $\vec{b} = (3, -6, 0)$ が垂直で、$\vec{a}$ の大きさが $3$ であるとき、$x, y$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{5}$ であるベクトルを求めます。

(2) ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直な単位ベクトルを求めます。

(3) 2つのベクトル $\vec{a} = (x, y, 2)$ と $\vec{b} = (3, -6, 0)$ が垂直で、$\vec{a}$ の大きさが $3$ であるとき、$x, y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直なベクトルを $\vec{v} = (x, y)$ とすると、$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ である必要があります。つまり、$2x + y = 0$ です。よって、$y = -2x$ となります。したがって、$\vec{v} = (x, -2x)$ と表せます。

次に、$\vec{v}$ の大きさが $\sqrt{5}$ であるという条件から、$\sqrt{x^2 + (-2x)^2} = \sqrt{5}$ となります。

したがって、$x^2 + 4x^2 = 5$ となり、$5x^2 = 5$ です。

これから、$x^2 = 1$ となり、$x = \pm 1$ です。

$x = 1$ のとき、$\vec{v} = (1, -2)$ であり、$x = -1$ のとき、$\vec{v} = (-1, 2)$ です。

(2) $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直なベクトルを $\vec{v} = (x, y)$ とすると、$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ である必要があります。つまり、$-4x + 3y = 0$ です。よって、$3y = 4x$, $y = \frac{4}{3}x$ となります。したがって、$\vec{v} = (x, \frac{4}{3}x)$ と表せます。

$\vec{v}$ を単位ベクトルとするためには、$\vec{v}$ の大きさが $1$ でなければなりません。

$\sqrt{x^2 + (\frac{4}{3}x)^2} = 1$

$x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 1$

$\frac{25}{9}x^2 = 1$

$x^2 = \frac{9}{25}$

$x = \pm \frac{3}{5}$

$x = \frac{3}{5}$ のとき、$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$ であり、$\vec{v} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ です。

$x = -\frac{3}{5}$ のとき、$y = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{4}{5}$ であり、$\vec{v} = (-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ です。

(3) $\vec{a} = (x, y, 2)$ と $\vec{b} = (3, -6, 0)$ が垂直であることから、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ です。

したがって、$3x - 6y + 0 = 0$ となり、$3x = 6y$ です。よって、$x = 2y$ となります。

$\vec{a}$ の大きさが $3$ であることから、$\sqrt{x^2 + y^2 + 2^2} = 3$ となります。

$x^2 + y^2 + 4 = 9$

$x^2 + y^2 = 5$

$x = 2y$ を代入すると、$(2y)^2 + y^2 = 5$

$4y^2 + y^2 = 5$

$5y^2 = 5$

$y^2 = 1$

$y = \pm 1$

$y = 1$ のとき、$x = 2 \cdot 1 = 2$ です。

$y = -1$ のとき、$x = 2 \cdot (-1) = -2$ です。

したがって、$(x, y) = (2, 1), (-2, -1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(1, -2)$ と $(-1, 2)$

(2) $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ と $(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$

(3) $(x, y) = (2, 1), (-2, -1)$