$x = 1 - \sqrt{3}$、$y = 1 + \sqrt{3}$ のとき、$\frac{y}{x} + x^2 + y^2 + \frac{x}{y}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 1 - \sqrt{3}$、$y = 1 + \sqrt{3}$ のとき、$\frac{y}{x} + x^2 + y^2 + \frac{x}{y}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{y}{x} + x^2 + y^2 + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} + x^2 + y^2$

ここで、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ であることを利用します。

また、$\frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$ なので、

$\frac{x^2 + y^2}{xy} + x^2 + y^2 = \frac{1}{xy}(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) = (1 + \frac{1}{xy})(x^2 + y^2)$

更に、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を代入すると、

$(1 + \frac{1}{xy})((x+y)^2 - 2xy)$

次に、与えられた $x$ と $y$ の値から、$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x + y = (1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 2$

$xy = (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1 - 3 = -2$

これらの値を式に代入します。

$(1 + \frac{1}{-2})((2)^2 - 2(-2)) = (1 - \frac{1}{2})(4 + 4) = (\frac{1}{2})(8) = 4$

3. 最終的な答え

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