$xy$平面において、点$P(x, y)$の座標が$x = \sin \theta$, $y = \cos^2 \theta$ で表されている。$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲を動くとき、点$P$が描く曲線は放物線 $y = \text{ア}$ の $\text{イ} \le x \le \text{ウ}$ の部分であり、点$P$の$y$座標が最大になるのは $\theta = \text{エ}$ のときである。ア, イ, ウ, エを求めよ。

## 問題11の解答

1. 問題の内容

$xy$平面において、点$P(x, y)$の座標が$x = \sin \theta$, $y = \cos^2 \theta$ で表されている。$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲を動くとき、点$P$が描く曲線は放物線 $y = \text{ア}$ の $\text{イ} \le x \le \text{ウ}$ の部分であり、点$P$の$y$座標が最大になるのは $\theta = \text{エ}$ のときである。ア, イ, ウ, エを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin \theta$ と $y = \cos^2 \theta$ の関係から、$\theta$ を消去して、$x$ と $y$ の関係式を求める。

$y = \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - x^2$

したがって、$y = 1 - x^2$

次に、$\theta$ の範囲 $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ から、$x = \sin \theta$ の範囲を求める。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{7\pi}{6}$ のとき、$x = \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$y = 1 - x^2$ の最大値を求める。$y$は上に凸の放物線なので、$x=0$で最大値を取り、$x=0$のとき、$y=1$となる。

$\theta$の範囲で、$x=0$となるのは、$\sin \theta = 0$のときなので、$\theta = \pi$である。これは$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$を満たす。

まとめると

ア: $1-x^2$

イ: $-\frac{1}{2}$

ウ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

エ: $\pi$

3. 最終的な答え

ア: $1-x^2$

イ: $-\frac{1}{2}$

ウ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

エ: $\pi$