2次方程式 $x^2 + 2ax + 3a + 10 = 0$ が1より大きい異なる2つの解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2ax + 3a + 10 = 0$ が1より大きい異なる2つの解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + 2ax + 3a + 10 = 0$ が1より大きい異なる2つの実数解を持つ条件は次の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 $x = -a > 1$

(3) $f(1) > 0$ (ただし、$f(x) = x^2 + 2ax + 3a + 10$)

まず、(1) の条件から判別式 $D$ を計算します。

$D = (2a)^2 - 4(3a + 10) = 4a^2 - 12a - 40 > 0$

$a^2 - 3a - 10 > 0$

$(a - 5)(a + 2) > 0$

よって、$a < -2$ または $a > 5$

次に、(2) の条件から軸を考えます。

$x = -a > 1$

$a < -1$

最後に、(3) の条件から $f(1) > 0$ を考えます。

$f(1) = 1 + 2a + 3a + 10 = 5a + 11 > 0$

$5a > -11$

$a > -\frac{11}{5} = -2.2$

以上の3つの条件を満たす $a$ の範囲を求めます。

(1) $a < -2$ または $a > 5$

(2) $a < -1$

(3) $a > -2.2$

これらを数直線上に図示すると、$-2.2 < a < -2$ が共通範囲となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{11}{5} < a < -2$

テトナ = 11

ニ = 5

ヌネ = -2