問題4の(1)と(2)、問題5を解きます。 問題4 (1): $\frac{x^2+3x-4}{x^2+7x+10} \times \frac{x+5}{x-1}$ を計算します。 問題4 (2): $\frac{3}{x^2-x-2} - \frac{4}{x^2-4}$ を計算します。 問題5: $x^2+2x+6 = a(x-1)^2+b(x-1)+c$ が $x$ についての恒等式となるような $a, b, c$ を求めます。

1. 問題の内容

問題4の(1)と(2)、問題5を解きます。

問題4 (1): $\frac{x^2+3x-4}{x^2+7x+10} \times \frac{x+5}{x-1}$ を計算します。

問題4 (2): $\frac{3}{x^2-x-2} - \frac{4}{x^2-4}$ を計算します。

問題5: $x^2+2x+6 = a(x-1)^2+b(x-1)+c$ が $x$ についての恒等式となるような $a, b, c$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題4 (1):

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2+3x-4 = (x+4)(x-1)$

$x^2+7x+10 = (x+2)(x+5)$

よって、

$\frac{x^2+3x-4}{x^2+7x+10} \times \frac{x+5}{x-1} = \frac{(x+4)(x-1)}{(x+2)(x+5)} \times \frac{x+5}{x-1} = \frac{x+4}{x+2}$

問題4 (2):

分母を因数分解します。

$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

よって、

$\frac{3}{x^2-x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{3}{(x-2)(x+1)} - \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{3(x+2) - 4(x+1)}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{3x+6-4x-4}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{-x+2}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+2)} = \frac{-1}{(x+1)(x+2)} = -\frac{1}{x^2+3x+2}$

問題5:

$x^2+2x+6 = a(x-1)^2+b(x-1)+c$ を展開します。

$x^2+2x+6 = a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c = ax^2-2ax+a+bx-b+c = ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)$

係数を比較します。

$a=1$

$-2a+b=2$

$a-b+c=6$

$a=1$ なので、 $-2(1)+b=2$ より $b=4$

$1-4+c=6$ より $c=9$

よって、$a=1, b=4, c=9$

3. 最終的な答え

問題4 (1): $\frac{x+4}{x+2}$

問題4 (2): $-\frac{1}{x^2+3x+2}$

問題5: $a=1, b=4, c=9$