$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$を$\cos^2\theta$を用いて表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ が成り立ちます。これを方程式に代入すると、

$$2(1-\cos^2\theta) - \sqrt{2}\cos\theta = 0$$

となります。これを展開して整理すると、

$$2 - 2\cos^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0$$

$$2\cos^2\theta + \sqrt{2}\cos\theta - 2 = 0$$

ここで、$x = \cos\theta$ とおくと、

$$2x^2 + \sqrt{2}x - 2 = 0$$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2+16}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$$

したがって、$x = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$ となります。

$x = \cos\theta$ であったので、$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $\cos\theta = -\sqrt{2}$ となります。

ただし、$-1 \le \cos\theta \le 1$ であるため、$\cos\theta = -\sqrt{2}$ は解を持ちません。したがって、$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解きます。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$