点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、$AP:PN = s : (1-s)$ とすると、 $\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$ と表せる。 $\overrightarrow{ON} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OB} = \frac{3}{4} \vec{b}$ なので、 $\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b}$ ...(1)

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1. 問題の内容

**問題1:**

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表せ。

**問題2:**

平行四辺形 $OABC$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とし、線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}, \vec{c}$ で表せ。

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2. 解き方の手順

**問題1:**

1. **$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{ON}$ で表す:**

点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、$AP:PN = s : (1-s)$ とすると、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$ と表せる。

$\overrightarrow{ON} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OB} = \frac{3}{4} \vec{b}$ なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b}$ ...(1)

2. **$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OM}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す:**

点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、$BP:PM = t : (1-t)$ とすると、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$ と表せる。

$\overrightarrow{OM} = \frac{3}{5} \overrightarrow{OA} = \frac{3}{5} \vec{a}$ なので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ ...(2)

3. **(1) と (2) の係数を比較する:**

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、(1)と(2)の係数を比較して、

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{3}{4}s = 1-t$

4. **$s$ と $t$ を求める:**

上の連立方程式を解くと、

$s = \frac{20}{29}, t = \frac{15}{29}$

5. **$\overrightarrow{OP}$ を求める:**

$s$ または $t$ の値を (1) または (2) に代入して、$\overrightarrow{OP}$ を求める。今回は $s$ を(1)に代入する。

$\overrightarrow{OP} = (1 - \frac{20}{29})\vec{a} + \frac{3}{4}(\frac{20}{29})\vec{b} = \frac{9}{29}\vec{a} + \frac{15}{29}\vec{b}$

**問題2:**

1. **$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{ON}$ で表す:**

点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、$AP:PN = s : (1-s)$ とすると、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$ と表せる。

$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OC} = \frac{1}{3} \vec{c}$ なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{1}{3}s\vec{c}$ ...(3)

2. **$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OM}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す:**

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{c}$。 点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、$BP:PM = t : (1-t)$ とすると、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$ と表せる。

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} \vec{a}$ なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)(\vec{a} + \vec{c}) + \frac{1}{2}t\vec{a} = (1-\frac{1}{2}t)\vec{a} + (1-t)\vec{c}$ ...(4)

3. **(3) と (4) の係数を比較する:**

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、(3)と(4)の係数を比較して、

$1-s = 1 - \frac{1}{2}t$

$\frac{1}{3}s = 1-t$

4. **$s$ と $t$ を求める:**

上の連立方程式を解くと、

$s = \frac{4}{5}, t = \frac{3}{5}$

5. **$\overrightarrow{OP}$ を求める:**

$s$ または $t$ の値を (3) または (4) に代入して、$\overrightarrow{OP}$ を求める。今回は $s$ を(3)に代入する。

$\overrightarrow{OP} = (1 - \frac{4}{5})\vec{a} + \frac{1}{3}(\frac{4}{5})\vec{c} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{c}$

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3. 最終的な答え

**問題1:** $\overrightarrow{OP} = \frac{9}{29}\vec{a} + \frac{15}{29}\vec{b}$

**問題2:** $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{4}{15}\vec{c}$