平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をM、線分AMと線分BDの交点をPとする。このとき、平行四辺形ABCDの面積は三角形APOの面積の何倍になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をM、線分AMと線分BDの交点をPとする。このとき、平行四辺形ABCDの面積は三角形APOの面積の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質から、対角線は互いの中点で交わるので、BO = DOです。

次に、メネラウスの定理を三角形BCDと直線AMに適用します。

$\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OP}{PB} = 1$

MはBCの中点なので、BM = MCとなり、$\frac{BM}{MC}=1$です。また、Oは対角線ACの中点なので、AO = OC、従ってAC = 2AOとなり、$\frac{CA}{AO} = \frac{2AO}{AO} = 2$です。

よって、

$1 \cdot 2 \cdot \frac{OP}{PB} = 1$

$\frac{OP}{PB} = \frac{1}{2}$

これから、$\frac{BO}{OP} = \frac{BP + PO}{OP} = \frac{2OP + OP}{OP} = 3$です。つまり、$OP = \frac{1}{3}BO$です。

次に、平行四辺形ABCDの面積をSとすると、三角形ABOの面積は$\frac{1}{4}S$です。なぜなら、対角線によって平行四辺形は4つの合同な三角形に分割されるからです。

したがって、三角形APOの面積は、

$\triangle APO = \frac{OP}{BO} \cdot \triangle ABO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} S = \frac{1}{12} S$

平行四辺形ABCDの面積Sは、三角形APOの面積の何倍かというと、

$\frac{S}{\triangle APO} = \frac{S}{\frac{1}{12}S} = 12$

したがって、平行四辺形ABCDの面積は三角形APOの面積の12倍です。

3. 最終的な答え

12倍