図において、$x$ の値と $\frac{DE}{EF}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

図において、$x$ の値と $\frac{DE}{EF}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形 ABD と三角形 FEC に注目する。

AD : AF = 2 : 3

BD : FC = 3 : x

角 A と角 F は対頂角で等しい。

AB : FE = 5 : 2

三角形 ABD と三角形 FEC は相似である (2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい)

$\frac{DE}{EF} = \frac{BD}{FA} = \frac{3}{3} = 1$

三角形 AED と三角形 AFB に注目する。

AE : AB = 2 : 5

AD : AF = 2 : 3

DE : BF = x : (3+5) = x : 8

AD : AC = 2 : (2+2) = 2:4 = 1 : 2

EF : FA = 3 : 3 = 1

$\frac{DE}{EF} = \frac{BD}{FA} = \frac{3}{3} = 1$

$\frac{AD}{AC} = \frac{2}{2+x} = \frac{2}{4} = 1/2$

$AC = x + 2$

$AE / AB = 2/5$

$CD = 2$

$BD = 3$

メネラウスの定理より、

(BD/DC) * (CE/EA) * (AF/FB) = 1

(3/2) * (x/(x+2)) * (3/5) = 1

$3x / (2x + 4) = 5/3$

$9x = 10x + 20$

$-x = 20$

$x = -20$

三角形 BDA と三角形 CFE は相似

$\frac{BD}{CE} = \frac{AD}{FE} = \frac{AB}{FC} = \frac{5}{2} = \frac{2}{3}$

$x/3 * 2/5= 1/2$

図より三角形 BDA と三角形 CFE は相似。

BD : CE = 3 : 2 = BA : CF = 5 : 3

CE = 2

x = 2

$\frac{DE}{EF} = \frac{3}{3} = 1$

3. 最終的な答え

$x = \frac{2}{2}$, $\frac{DE}{EF} = \frac{3}{3}$

つまり、 $x=2$, $\frac{DE}{EF}=1$