放物線 $y = x^2 + k$ (①) と次の円の共有点の個数を調べる。 (1) $x^2 + y^2 = 4$ (2) $x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + k$ (①) と次の円の共有点の個数を調べる。

(1) $x^2 + y^2 = 4$

(2) $x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 + k$ を円の方程式に代入し、$x$ についての解の個数を調べる。

(1) $x^2 + y^2 = 4$ に $y = x^2 + k$ を代入する。

$x^2 + (x^2 + k)^2 = 4$

$x^2 + x^4 + 2kx^2 + k^2 = 4$

$x^4 + (2k+1)x^2 + k^2 - 4 = 0$

$X = x^2$ とおくと、$X \ge 0$ である。

$X^2 + (2k+1)X + k^2 - 4 = 0$

この2次方程式の解 $X$ の個数によって、もとの方程式の解 $x$ の個数が決まる。

判別式 $D = (2k+1)^2 - 4(k^2-4) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 16 = 4k + 17$

$D > 0$ すなわち $k > -\frac{17}{4}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$X$ が2つとも正のとき、$x$ は4個

$X$ が正と負のとき、$x$ は2個

$X$ が2つとも負のとき、$x$ は0個

$X$ が正と0のとき、$x$ は3個

$X$ が0と0のとき、$x$ は1個

$k > -\frac{17}{4}$ のとき、$X$ の解は $X = \frac{-(2k+1) \pm \sqrt{4k+17}}{2}$

$X_1 + X_2 = -(2k+1)$

$X_1 X_2 = k^2 - 4$

$k^2 - 4 > 0$ かつ $-(2k+1) > 0$ すなわち $k < -2$ かつ $k < -\frac{1}{2}$ のとき、$k < -2$ ならば、$X_1, X_2 > 0$ となり、$x$ の解は4個。

$k^2 - 4 < 0$ すなわち $-2 < k < 2$ ならば、$X_1, X_2$ は異符号となり、$x$ の解は2個。

$k^2 - 4 = 0$ ならば、$X_1 X_2 = 0$ となり、$k = 2$ ならば、$X = \frac{-5 \pm \sqrt{25}}{2}$, $X=0, -5$ であり、$x$ の解は1個。

$k = -2$ ならば、$X = \frac{3 \pm \sqrt{9}}{2}$, $X=0, 3$ であり、$x$ の解は3個。

$D = 0$ すなわち $k = -\frac{17}{4}$ のとき、重解を持つ。

$X = \frac{-(2k+1)}{2} = \frac{-(-17/2 + 1)}{2} = \frac{15}{4} > 0$

$x$ は2個。

$D < 0$ すなわち $k < -\frac{17}{4}$ のとき、実数解を持たない。$x$ は0個。

以上より、

$k < -\frac{17}{4}$ のとき、0個

$k = -\frac{17}{4}$ のとき、2個

$-\frac{17}{4} < k < -2$ のとき、2個

$k = -2$ のとき、3個

$-2 < k < 2$ のとき、2個

$k = 2$ のとき、1個

$k > 2$ のとき、0個

(2) $x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ に $y = x^2 + k$ を代入する。

$x^2 + (x^2 + k)^2 = \frac{1}{4}$

$x^2 + x^4 + 2kx^2 + k^2 = \frac{1}{4}$

$x^4 + (2k+1)x^2 + k^2 - \frac{1}{4} = 0$

$X = x^2$ とおくと、$X \ge 0$ である。

$X^2 + (2k+1)X + k^2 - \frac{1}{4} = 0$

この2次方程式の解 $X$ の個数によって、もとの方程式の解 $x$ の個数が決まる。

判別式 $D = (2k+1)^2 - 4(k^2-\frac{1}{4}) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 1 = 4k+2$

$D > 0$ すなわち $k > -\frac{1}{2}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$X$ が2つとも正のとき、$x$ は4個

$X$ が正と負のとき、$x$ は2個

$X$ が2つとも負のとき、$x$ は0個

$X$ が正と0のとき、$x$ は3個

$X$ が0と0のとき、$x$ は1個

$k > -\frac{1}{2}$ のとき、$X$ の解は $X = \frac{-(2k+1) \pm \sqrt{4k+2}}{2}$

$X_1 + X_2 = -(2k+1)$

$X_1 X_2 = k^2 - \frac{1}{4}$

$k^2 - \frac{1}{4} > 0$ かつ $-(2k+1) > 0$ すなわち $k < -\frac{1}{2}$ かつ $k < -\frac{1}{2}$ のとき、$k < -\frac{1}{2}$ ならば、$X_1, X_2 > 0$ となり、$x$ の解は4個。

$k^2 - \frac{1}{4} < 0$ すなわち $-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ ならば、$X_1, X_2$ は異符号となり、$x$ の解は2個。

$k^2 - \frac{1}{4} = 0$ ならば、$X_1 X_2 = 0$ となり、$k = \frac{1}{2}$ ならば、$X = \frac{-2 \pm \sqrt{4}}{2}$, $X=0, -2$ であり、$x$ の解は1個。

$k = -\frac{1}{2}$ ならば、$X = \frac{0 \pm \sqrt{0}}{2}$, $X=0, 0$ であり、$x$ の解は1個。

$D = 0$ すなわち $k = -\frac{1}{2}$ のとき、重解を持つ。

$X = \frac{-(2k+1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$x$ は1個。

$D < 0$ すなわち $k < -\frac{1}{2}$ のとき、実数解を持たない。$x$ は0個。

3. 最終的な答え

(1)

$k < -\frac{17}{4}$ のとき、0個

$k = -\frac{17}{4}$ のとき、2個

$-\frac{17}{4} < k < -2$ のとき、2個

$k = -2$ のとき、3個

$-2 < k < 2$ のとき、2個

$k = 2$ のとき、1個

$k > 2$ のとき、0個

(2)

$k < -\frac{1}{2}$ のとき、0個

$k = -\frac{1}{2}$ のとき、1個

$-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$ のとき、2個

$k = \frac{1}{2}$ のとき、1個

$k > \frac{1}{2}$ のとき、0個