$\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $AB = \frac{15}{2}$ の直角三角形ABCの重心をGとするとき、$AG$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

$\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $AB = \frac{15}{2}$ の直角三角形ABCの重心をGとするとき、$AG$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ より、$\angle C = 30^\circ$ であることがわかります。

三角形ABCは、$\angle A = 90^\circ$の直角三角形なので、BCが斜辺です。$\angle B = 60^\circ$であることから、三角形ABCは30度60度90度の特別な直角三角形であることがわかります。

このとき、辺の比は、$AB : AC : BC = 1 : \sqrt{3} : 2$ となります。

$AB = \frac{15}{2}$ なので、$BC = 2 \times AB = 2 \times \frac{15}{2} = 15$ です。

また、$AC = AB \times \sqrt{3} = \frac{15}{2} \sqrt{3}$です。

直角三角形ABCにおいて、斜辺BCの中点をMとすると、AMは中線であり、

$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{15}{2}$ です。

重心Gは、中線AMを2:1に内分するので、

$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \times \frac{15}{2} = 5$ となります。

3. 最終的な答え

$AG = 5$