$\triangle ABC$ において、辺 $BC$, $CA$, $AB$ の中点をそれぞれ $D$, $E$, $F$ とする。$\triangle ABC$ の重心を $G$, $\triangle AEF$ の重心を $P$ とする。$AB = 8$, $AC = 7$, $AD = 6$ のとき、$DE$, $DF$, $PG$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$, $CA$, $AB$ の中点をそれぞれ $D$, $E$, $F$ とする。$\triangle ABC$ の重心を $G$, $\triangle AEF$ の重心を $P$ とする。$AB = 8$, $AC = 7$, $AD = 6$ のとき、$DE$, $DF$, $PG$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$DE$ の長さを求める。$D$ は $BC$ の中点、$E$ は $AC$ の中点なので、中点連結定理より、$DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$。

次に、$DF$ の長さを求める。$D$ は $BC$ の中点、$F$ は $AB$ の中点なので、中点連結定理より、$DF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 7 = \frac{7}{2}$。

最後に、$PG$ の長さを求める。

$G$ は $\triangle ABC$ の重心であるから、$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$。

$P$ は $\triangle AEF$ の重心である。$\triangle AEF$ は $\triangle ABC$ を縮小したものであり、相似比は $1/2$ である。

$AD$ は $\triangle ABC$ の中線であり、$AE = \frac{1}{2} AC$, $AF = \frac{1}{2} AB$ であるから、$AD$ に対応するのは $AM$（$M$は$EF$の中点）

$AP = \frac{2}{3} AM$ であり、$AM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$。

したがって、$AP = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$。

よって、$PG = AG - AP = 4 - 2 = 2$。

3. 最終的な答え

$DE = 4$, $DF = \frac{7}{2}$, $PG = 2$。