三角形ABCにおいて、点D, E, Fはそれぞれ辺BC, CA, AB上にあり、$BD:DC = CE:EA = AF:FB = 2:3$を満たしている。このとき、三角形ABCの面積と三角形DEFの面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点D, E, Fはそれぞれ辺BC, CA, AB上にあり、$BD:DC = CE:EA = AF:FB = 2:3$を満たしている。このとき、三角形ABCの面積と三角形DEFの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積をSとする。まず、三角形ADF, BDE, CEFの面積をそれぞれSを使って表す。

$AF:AB = 2:5$, $AD:AC = 3:5$であるから、三角形ADFの面積は、

$S_{\triangle ADF} = \frac{AF}{AB} \cdot \frac{AD}{AC} S = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{6}{25} S$

同様に、

$BD:BC = 2:5$, $BE:BA = 3:5$であるから、三角形BDEの面積は、

$S_{\triangle BDE} = \frac{BD}{BC} \cdot \frac{BE}{BA} S = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{6}{25} S$

$CE:CA = 2:5$, $CF:CB = 3:5$であるから、三角形CEFの面積は、

$S_{\triangle CEF} = \frac{CE}{CA} \cdot \frac{CF}{CB} S = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{6}{25} S$

三角形DEFの面積は、三角形ABCの面積から、三角形ADF, BDE, CEFの面積を引いたものに等しい。

$S_{\triangle DEF} = S - S_{\triangle ADF} - S_{\triangle BDE} - S_{\triangle CEF} = S - \frac{6}{25} S - \frac{6}{25} S - \frac{6}{25} S = S - \frac{18}{25} S = \frac{7}{25} S$

よって、三角形ABCの面積と三角形DEFの面積の比は、

$S : \frac{7}{25} S = 1 : \frac{7}{25} = 25:7$

3. 最終的な答え

25:7