三角形ABCがあり、BC=6, CA=7, AB=8である。ABの中点をDとする。角Bの二等分線と辺AC, 線分DCとの交点をそれぞれE, Fとする。三角形ABCと三角形EFCの面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、BC=6, CA=7, AB=8である。ABの中点をDとする。角Bの二等分線と辺AC, 線分DCとの交点をそれぞれE, Fとする。三角形ABCと三角形EFCの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、AE:EC = BA:BC = 8:6 = 4:3となる。したがって、AE = (4/7)AC = 4, EC = (3/7)AC = 3となる。

(2) メネラウスの定理を三角形ADCと直線BEに対して適用する。

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{6}{4} \cdot \frac{DF}{FC} = 1$

$2 \cdot \frac{DF}{FC} = 1$

$\frac{DF}{FC} = \frac{1}{2}$

よって、CF:DC = 2:3である。

(3) 三角形ABCと三角形EFCの面積比を求める。

$\frac{[EFC]}{[ABC]} = \frac{EC}{AC} \cdot \frac{CF}{CD} \cdot \frac{CD}{?}$

$\frac{[EFC]}{[ABC]} = \frac{EC}{AC} \cdot \frac{CF}{CD} \cdot \frac{CD}{AC}$

$\frac{[EFC]}{[ABC]} = \frac{EC}{AC} \cdot \frac{CF}{DC}$

$\frac{[EFC]}{[ABC]} = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{7}$

したがって、[ABC]:[EFC] = 7:2

3. 最終的な答え

7:2