$xy$平面上の点P$(x, y)$の座標が $x = \sin{\theta}$, $y = \cos^2{\theta}$ で表されている。$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲を動くとき、点Pが描く曲線は放物線 $y = ?$ の $? \le x \le ?$ の部分であり、点Pの $y$ 座標が最大になるのは $\theta = ?$ のときである。

1. 問題の内容

$xy$平面上の点P$(x, y)$の座標が $x = \sin{\theta}$, $y = \cos^2{\theta}$ で表されている。$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲を動くとき、点Pが描く曲線は放物線 $y = ?$ の $? \le x \le ?$ の部分であり、点Pの $y$ 座標が最大になるのは $\theta = ?$ のときである。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ の式で表す。

$y = \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ より、 $y = 1 - x^2$ となる。

次に、$x$ の範囲を求める。

$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲を動くとき、$x = \sin{\theta}$ の範囲は、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

最後に、$y$ 座標が最大になる $\theta$ を求める。

$y = 1 - x^2 = 1 - \sin^2{\theta}$ より、$y$ が最大となるのは $\sin^2{\theta}$ が最小となる時である。

$\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ の範囲では、$\theta = \pi/2$のとき、$x = \sin{\theta} = 1$。このとき、$y = 1 - x^2 = 0$。

$\theta = \pi$のとき、$x = \sin{\theta} = 0$。このとき、$y = 1 - x^2 = 1$。

$\theta = \pi/2$は与えられた範囲に含まれていない。

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$の範囲で$\sin \theta$は$\theta = \pi/2$に近いほど0に近づく。$\sin \theta$の値が0になる点を探すと$\theta = \pi$である。この値は与えられた範囲に含まれない。範囲の境界の値を確認する必要がある。

$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき、$x = \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$y = \cos^2{\frac{\pi}{3}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。

$\theta = \frac{7\pi}{6}$のとき、$x = \sin{\frac{7\pi}{6}} = -\frac{1}{2}$ であり、$y = \cos^2{\frac{7\pi}{6}} = (\frac{-\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$。

$x$ の値が 0 に近いほど、$y$ の値は 1 に近づく。$\theta = \pi$ のとき、$x = 0$ なので、$y=1$となり、この値が最大となる。

3. 最終的な答え

$y = 1 - x^2$

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \pi$