三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=4$, $\angle A = 60^\circ$のとき、この三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=4$, $\angle A = 60^\circ$のとき、この三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて、$a$の長さを求めます。余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

です。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$a^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 25 - 12 = 13$

したがって、$a = \sqrt{13}$となります。

次に、正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

です。

したがって、

$R = \frac{a}{2\sin A}$

与えられた値を代入すると、

$R = \frac{\sqrt{13}}{2\sin 60^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$R = \frac{\sqrt{13}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$R = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

分母の有理化を行うと、

$R = \frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$R = \frac{\sqrt{39}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{39}}{3}$