三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=6\sqrt{2}$, $\angle A = 45^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=6\sqrt{2}$, $\angle A = 45^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺aの長さを求める。余弦定理は次の通り。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 3^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cos 45^\circ$

$a^2 = 9 + 72 - 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 81 - 36$

$a^2 = 45$

したがって、$a = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。正弦定理は次の通り。

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

したがって、

$R = \frac{a}{2\sin A}$

与えられた値を代入すると、

$R = \frac{3\sqrt{5}}{2 \sin 45^\circ}$

$R = \frac{3\sqrt{5}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$R = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

$R = \frac{3\sqrt{5}\sqrt{2}}{2}$

$R = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{10}}{2}$