三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{2}$, $c = 6$, $\angle B = 135^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{2}$, $c = 6$, $\angle B = 135^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$b$の長さを求める。余弦定理は以下の通りである。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

与えられた値を代入すると、

$b^2 = (2\sqrt{2})^2 + 6^2 - 2(2\sqrt{2})(6)\cos 135^\circ$

$b^2 = 8 + 36 - 24\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$b^2 = 44 + 24$

$b^2 = 68$

$b = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。正弦定理は以下の通りである。

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$R = \frac{b}{2\sin B}$

$R = \frac{2\sqrt{17}}{2\sin 135^\circ}$

$R = \frac{\sqrt{17}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$R = \frac{2\sqrt{17}}{\sqrt{2}}$

$R = \sqrt{2} \sqrt{17} = \sqrt{34}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{34}$