三角形ABCにおいて、$a = 5\sqrt{3}$, $b = 6\sqrt{3}$, $\angle C = 60^\circ$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 5\sqrt{3}$, $b = 6\sqrt{3}$, $\angle C = 60^\circ$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

外接円の半径を求めるために、正弦定理を利用します。正弦定理を使うためには、$\angle C$ の対辺 $c$ の長さを求める必要があります。$c$ を求めるために、余弦定理を使います。

まず、余弦定理を用いて $c$ の長さを求めます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

与えられた値を代入すると、

$c^2 = (5\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2(5\sqrt{3})(6\sqrt{3})\cos 60^\circ$

$c^2 = 25(3) + 36(3) - 2(5)(6)(3)(\frac{1}{2})$

$c^2 = 75 + 108 - 90$

$c^2 = 93$

$c = \sqrt{93}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径 $R$ を求めます。

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$R = \frac{c}{2\sin C}$

$R = \frac{\sqrt{93}}{2\sin 60^\circ}$

$R = \frac{\sqrt{93}}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}$

$R = \frac{\sqrt{93}}{\sqrt{3}}$

$R = \sqrt{\frac{93}{3}}$

$R = \sqrt{31}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{31}$