$\frac{\sin A}{9} = \frac{\sin B}{7} = \frac{\sin C}{4}$ が成り立つとき、$\cos B$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\sin A}{9} = \frac{\sin B}{7} = \frac{\sin C}{4}$ が成り立つとき、$\cos B$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（$R$は外接円の半径）が成り立つ。

したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$ である。

これを与えられた式に代入すると、

$\frac{a}{9(2R)} = \frac{b}{7(2R)} = \frac{c}{4(2R)}$

となる。分母にある $2R$ は全て正なので、

$\frac{a}{9} = \frac{b}{7} = \frac{c}{4}$

が成り立つ。

この式より、$a:b:c = 9:7:4$ であることがわかる。

正の定数 $k$ を用いて、$a=9k$, $b=7k$, $c=4k$ と表せる。

余弦定理より、

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$a=9k$, $b=7k$, $c=4k$ を代入すると、

$\cos B = \frac{(4k)^2 + (9k)^2 - (7k)^2}{2(4k)(9k)} = \frac{16k^2 + 81k^2 - 49k^2}{72k^2} = \frac{48k^2}{72k^2} = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{2}{3}$