2 つの直線 $x - \sqrt{3}y - \sqrt{3} = 0$ と $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ のなす角の二等分線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2 つの直線 $x - \sqrt{3}y - \sqrt{3} = 0$ と $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ のなす角の二等分線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

2 つの直線のなす角の二等分線は、2 つの直線からの距離が等しい点の軌跡です。

点 $(x, y)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、$d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で与えられます。

与えられた 2 つの直線の方程式は、$x - \sqrt{3}y - \sqrt{3} = 0$ と $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ です。

点 $(x, y)$ からそれぞれの直線までの距離を $d_1$、$d_2$ とすると、

$d_1 = \frac{|x - \sqrt{3}y - \sqrt{3}|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|x - \sqrt{3}y - \sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|x - \sqrt{3}y - \sqrt{3}|}{2}$

$d_2 = \frac{|\sqrt{3}x - y + 1|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|\sqrt{3}x - y + 1|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|\sqrt{3}x - y + 1|}{2}$

角の二等分線上の点 $(x, y)$ は $d_1 = d_2$ を満たすので、

$\frac{|x - \sqrt{3}y - \sqrt{3}|}{2} = \frac{|\sqrt{3}x - y + 1|}{2}$

$|x - \sqrt{3}y - \sqrt{3}| = |\sqrt{3}x - y + 1|$

絶対値を外すと、次の 2 つの場合に分けられます。

場合 1: $x - \sqrt{3}y - \sqrt{3} = \sqrt{3}x - y + 1$

$(\sqrt{3} - 1)x + (\sqrt{3} - 1)y + \sqrt{3} + 1 = 0$

$(\sqrt{3} - 1)(x + y) + \sqrt{3} + 1 = 0$

$x + y = -\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = -\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = -\frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = -\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = -2 - \sqrt{3}$

$x + y + 2 + \sqrt{3} = 0$

場合 2: $x - \sqrt{3}y - \sqrt{3} = -(\sqrt{3}x - y + 1)$

$x - \sqrt{3}y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}x + y - 1$

$(1 + \sqrt{3})x - (\sqrt{3} + 1)y - \sqrt{3} + 1 = 0$

$(1 + \sqrt{3})x - (1 + \sqrt{3})y + (1 - \sqrt{3}) = 0$

$(1 + \sqrt{3})(x - y) + (1 - \sqrt{3}) = 0$

$x - y = -\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

$x - y - 2 + \sqrt{3} = 0$

3. 最終的な答え

求める直線の方程式は、

$x + y + 2 + \sqrt{3} = 0$

$x - y - 2 + \sqrt{3} = 0$