ある整数を15で割ると12余り、20で割ると17余る。そのような整数のうち、3番目に小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

ある整数を15で割ると12余り、20で割ると17余る。そのような整数のうち、3番目に小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

求める整数を$x$とする。

$x$は15で割ると12余るので、ある整数$m$を用いて、

$x = 15m + 12$と表せる。

$x$は20で割ると17余るので、ある整数$n$を用いて、

$x = 20n + 17$と表せる。

したがって、$15m + 12 = 20n + 17$となる。

これを変形すると、$15m = 20n + 5$となり、$3m = 4n + 1$となる。

$3m - 4n = 1$を満たす整数$m, n$を見つける。

$m = 3, n = 2$はこの式を満たす。

したがって、$3(m-3) = 4(n-2)$となる。

3と4は互いに素なので、$m-3 = 4k$, $n-2 = 3k$ (kは整数)とおける。

よって、$m = 4k + 3$, $n = 3k + 2$となる。

$x = 15m + 12 = 15(4k+3) + 12 = 60k + 45 + 12 = 60k + 57$

$x = 20n + 17 = 20(3k+2) + 17 = 60k + 40 + 17 = 60k + 57$

したがって、$x = 60k + 57$となる。

$k$に0, 1, 2, ...を代入して$x$を小さい順に求めると、57, 117, 177, 237, ...となる。

3番目に小さい整数は、$k=2$のときなので、$x = 60(2) + 57 = 120 + 57 = 177$となる。

3. 最終的な答え

177