z軸上の点Pで、点A(2, 1, 3)と点B(1, -2, -1)から等距離にある点Pの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

z軸上の点Pで、点A(2, 1, 3)と点B(1, -2, -1)から等距離にある点Pの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pはz軸上にあるので、その座標は(0, 0, z)と表すことができます。

点Aと点Pの距離PAと、点Bと点Pの距離PBが等しいという条件からzを求めます。

PAの2乗は

$PA^2 = (2-0)^2 + (1-0)^2 + (3-z)^2 = 4 + 1 + (3-z)^2 = 5 + (3-z)^2$

PBの2乗は

$PB^2 = (1-0)^2 + (-2-0)^2 + (-1-z)^2 = 1 + 4 + (-1-z)^2 = 5 + (-1-z)^2$

PA = PBなので、$PA^2 = PB^2$であるから

$5 + (3-z)^2 = 5 + (-1-z)^2$

$(3-z)^2 = (-1-z)^2$

$9 - 6z + z^2 = 1 + 2z + z^2$

$8 = 8z$

$z = 1$

したがって、点Pの座標は(0, 0, 1)となります。

3. 最終的な答え

(0, 0, 1)