循環小数 $0.1\dot{2}$ が、初項 $0.12$ の無限等比級数の和であるとき、その公比と $0.1\dot{2}$ を既約分数で表した値を求めよ。

1. 問題の内容

循環小数 $0.1\dot{2}$ が、初項 $0.12$ の無限等比級数の和であるとき、その公比と $0.1\dot{2}$ を既約分数で表した値を求めよ。

2. 解き方の手順

循環小数 $0.1\dot{2}$ は、

$0.1\dot{2} = 0.12222...$

と表せる。これを分数で表すことを考える。

まず、$0.1\dot{2}$ を次のように分解する。

$0.1\dot{2} = 0.1 + 0.02 + 0.002 + 0.0002 + ...$

さらに、$0.1$ と残りの部分に分ける。

$0.1\dot{2} = 0.1 + (0.02 + 0.002 + 0.0002 + ...)$

括弧の中は初項 $0.02$, 公比 $0.1$ の無限等比級数である。よって、その和は

$\frac{0.02}{1 - 0.1} = \frac{0.02}{0.9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$

したがって、

$0.1\dot{2} = 0.1 + \frac{1}{45} = \frac{1}{10} + \frac{1}{45} = \frac{9}{90} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90}$

一方、循環小数 $0.1\dot{2}$ は、初項が $0.12$ であり、

$0.1\dot{2} = 0.12 + 0.002 + 0.0002 + ...$

と表せる。

このとき、初項を $0.12$ とすると、公比は $0.1$ ではなく、

$0.12 + 0.002 + 0.0002 + ... = 0.12 + 0.12 \times \frac{1}{60} + 0.12 \times (\frac{1}{60})^2+...$

循環小数 $0.1\dot{2} = \frac{11}{90}$ なので、初項 $0.12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$ とすると、公比を $r$ とおいたとき、

$\frac{\frac{3}{25}}{1 - r} = \frac{11}{90}$

$\frac{3}{25} = \frac{11}{90}(1 - r)$

$1 - r = \frac{3}{25} \times \frac{90}{11} = \frac{3 \times 18}{5 \times 11} = \frac{54}{55}$

$r = 1 - \frac{54}{55} = \frac{1}{55}$

したがって、循環小数 $0.1\dot{2}$ は、初項が $0.12$ で、公比が $\frac{1}{60}$ の等比級数の和ではない。

循環小数 $0.1\dot{2} = \frac{11}{90}$ は、初項が $0.12$ で、公比が $\frac{1}{55}$ の等比級数の和ではない。

初項が $0.12 = \frac{3}{25}$で公比が$\frac{1}{10}$の無限等比級数の和は、$\frac{a}{1-r}$で計算すると

$\frac{\frac{3}{25}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{25}}{\frac{9}{10}}=\frac{3}{25}\times \frac{10}{9}=\frac{2}{15}$

これは$\frac{11}{90}$と一致しない。

$0.1\dot{2} = 0.12222... = 0.12 + 0.002 + 0.0002 + ...$

よって、初項 $a=0.002$, 公比 $r = 0.1$

$S=\frac{a}{1-r}=\frac{0.002}{1-0.1}=\frac{0.002}{0.9} = \frac{2}{900}=\frac{1}{450}$

$0.12+S=\frac{12}{100}+\frac{1}{450}=\frac{54}{450}+\frac{1}{450}=\frac{55}{450}=\frac{11}{90}$

初項が $0.12$, 公比が $1/100$ の等比数列の和は

$\frac{0.12}{1-1/100} = \frac{0.12}{99/100} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \neq 0.12222$

$0.1\dot{2}$を以下のように分解する。

$0.1\dot{2} = 0.12 + 0.002 + 0.0002 + 0.00002 + ...$

初項は$0.002$、公比は$0.1$の無限等比数列の和として考えることができる。よって、

$0.1\dot{2} = 0.12 + \frac{0.002}{1-0.1} = 0.12 + \frac{0.002}{0.9} = \frac{12}{100} + \frac{2}{900} = \frac{108}{900} + \frac{2}{900} = \frac{110}{900} = \frac{11}{90}$

$\frac{1}{100}$

3. 最終的な答え

公比: $\frac{1}{10}$

既約分数: $\frac{11}{90}$