与えられた数式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母の $\sqrt{6} - 2$ に対して、$\sqrt{6} + 2$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}$

分母は $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$ となります。

分子は $2\sqrt{3}(\sqrt{6}+2) = 2\sqrt{18} + 4\sqrt{3} = 2\sqrt{9 \times 2} + 4\sqrt{3} = 2(3\sqrt{2}) + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$ となります。

したがって、

$\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$