(1) $x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。 (2) $x + y + z = 0$, $xy + yz + zx = -10$, $xyz = 4\sqrt{3}$ のとき、$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$ の値を求めよ。

## 問題の解答

1. 問題の内容

(1) $x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めよ。

(2) $x + y + z = 0$, $xy + yz + zx = -10$, $xyz = 4\sqrt{3}$ のとき、$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

次に、$x^3 + y^3$ の値を計算します。

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

$x^3 + y^3 = (\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{7} = 7\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

(2)

$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy} = \frac{x^2}{xyz} + \frac{y^2}{xyz} + \frac{z^2}{xyz} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$

$x + y + z = 0$ より $(x + y + z)^2 = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 = -2(xy + yz + zx)$

$xy + yz + zx = -10$ を代入すると、

$x^2 + y^2 + z^2 = -2(-10) = 20$

したがって、

$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz} = \frac{20}{4\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{7}$

(2) $\frac{5\sqrt{3}}{3}$