2つの実数 $x$, $y$ について、命題「$x+y$ が有理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は有理数である」の対偶を作り、それを利用して元の命題の真偽を判定する。

1. 問題の内容

2つの実数 $x$, $y$ について、命題「$x+y$ が有理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は有理数である」の対偶を作り、それを利用して元の命題の真偽を判定する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $P \implies Q$ の形に表現します。ここで

$P$：$x+y$ が有理数である。

$Q$：$x, y$ の少なくとも一方は有理数である。

命題 $P \implies Q$ の対偶は $\neg Q \implies \neg P$ であり、元の命題と対偶の真偽は一致します。

$\neg Q$ は「$x, y$ はともに無理数である」

$\neg P$ は「$x+y$ は無理数である」

したがって、対偶は「$x, y$ がともに無理数ならば、$x+y$ は無理数である」となります。

対偶の真偽を考えます。$x = \sqrt{2}$、$y = -\sqrt{2}$ とすると、$x, y$ はともに無理数ですが、$x+y = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ は有理数です。したがって、対偶は偽です。

元の命題も偽となります。

3. 最終的な答え

対偶: 2つの実数 $x, y$ について、$x, y$ がともに無理数ならば、$x+y$ は無理数である。

命題の真偽: 偽