問題は、循環小数 $0.596296296...$ を分数で表すことです。ただし、$1/9 = 0.111...$, $1/99 = 0.010101...$, $1/999 = 0.001001...$ の関係を利用します。

1. 問題の内容

問題は、循環小数 $0.596296296...$ を分数で表すことです。ただし、$1/9 = 0.111...$, $1/99 = 0.010101...$, $1/999 = 0.001001...$ の関係を利用します。

2. 解き方の手順

与えられた循環小数は $0.596296296... = 0.596 + 0.000296 + 0.000000296 + ...$ と分解できます。

循環部分が $296$ なので、$1/999 = 0.001001001...$ を利用して、$0.001 = 1/1000$ を考え、$296 \times (1/999)$ が循環部分の小数部分に対応します。

したがって、$0.296296296... = 296/999$ となります。

元の小数 $0.596296296...$ は $0.3 + 0.296296296...$ と表せます。

$0.596296296... = 0.5 + 0.096296296...$ とも表せます。

$0.096296296... = (1/10) \times 0.96296296... = (1/10)(0.9 + 0.06296296...) = (1/10)(9/10+62/999) = (1/10)(8991/9990)$

$0.596296296... = 0.3 + 0.296296296... = \frac{3}{5} + \frac{296}{999} = \frac{3\times 999 + 5 \times 296}{5\times 999} = \frac{2997 + 1480}{4995} = \frac{4477}{4995}$

$0.596296296...$

$=596/1000 + 596/1000000 + ...$

$=596/1000 (1 + 1/1000 + 1/1000^2 + ...)$

$= (596/1000) * (1/(1-1/1000))$

$= (596/1000)*(1/(999/1000))$

$= 596/999$

$= (296+300)/999 = 300/1000 + 0.296296296.. = 3/10+296/999 = (2997+2960)/9990 = 5957/9990$

まず、$x = 0.596296296...$ と置きます。

次に、$1000x = 596.296296...$ となります。

すると、$1000x - x = 596.296296... - 0.596296296...$

$999x = 595.7$

$9990x = 5957$

$x = \frac{5957}{9990}$

3. 最終的な答え

$\frac{5957}{9990}$