次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 7) dx + \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x - 2) dx$

解析学定積分積分計算
2025/4/6

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。
02(3x22x+7)dx+02(3x24x2)dx\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 7) dx + \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x - 2) dx

2. 解き方の手順

まず、2つの積分をまとめます。積分区間が同じなので、被積分関数を足し合わせることができます。
02(3x22x+7)dx+02(3x24x2)dx=02[(3x22x+7)+(3x24x2)]dx\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 7) dx + \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x - 2) dx = \int_{0}^{2} [(3x^2 - 2x + 7) + (3x^2 - 4x - 2)] dx
被積分関数を整理します。
3x22x+7+3x24x2=6x26x+53x^2 - 2x + 7 + 3x^2 - 4x - 2 = 6x^2 - 6x + 5
したがって、
02(6x26x+5)dx\int_{0}^{2} (6x^2 - 6x + 5) dx
次に、不定積分を計算します。
(6x26x+5)dx=6x2dx6xdx+5dx=6x336x22+5x+C=2x33x2+5x+C\int (6x^2 - 6x + 5) dx = 6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + 5 \int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = 2x^3 - 3x^2 + 5x + C
最後に、定積分を計算します。
02(6x26x+5)dx=[2x33x2+5x]02=(2(2)33(2)2+5(2))(2(0)33(0)2+5(0))=(2(8)3(4)+10)(0)=1612+10=14\int_{0}^{2} (6x^2 - 6x + 5) dx = [2x^3 - 3x^2 + 5x]_{0}^{2} = (2(2)^3 - 3(2)^2 + 5(2)) - (2(0)^3 - 3(0)^2 + 5(0)) = (2(8) - 3(4) + 10) - (0) = 16 - 12 + 10 = 14

3. 最終的な答え

14

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