関数 $y = 3\cos(ax+b)$ のグラフを $C$ とする。$C$ は2点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $(\pi, 0)$ を通る。 (1) $a$ と $b$ を求め、関数 $y = 3\cos(ax+b)$ の周期のうち正で最小のものを求める。 (2) $C$ は関数 $y = 3\cos ax$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。ただし $-2\pi < \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}\pi < 2\pi$ とする。また $0 \le x < 4\pi$ において、方程式 $3\cos(ax+b) = 4\sin x$ は何個の解を持つかを求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\cos(ax+b)$ のグラフを $C$ とする。$C$ は2点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $(\pi, 0)$ を通る。

(1) $a$ と $b$ を求め、関数 $y = 3\cos(ax+b)$ の周期のうち正で最小のものを求める。

(2) $C$ は関数 $y = 3\cos ax$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。ただし $-2\pi < \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}\pi < 2\pi$ とする。また $0 \le x < 4\pi$ において、方程式 $3\cos(ax+b) = 4\sin x$ は何個の解を持つかを求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフ $C$ が点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ を通るので、

$\frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\cos(a\cdot 0 + b) = 3\cos b$

$\cos b = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 < b < \frac{\pi}{2}$ より、 $b = \frac{\pi}{6}$

グラフ $C$ が点 $(\pi, 0)$ を通るので、

$0 = 3\cos(a\pi + b) = 3\cos(a\pi + \frac{\pi}{6})$

$\cos(a\pi + \frac{\pi}{6}) = 0$

$a\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$a\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$a = \frac{1}{3}$

関数 $y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6})$ の周期は $\frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$

(2) $y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6}) = 3\cos(\frac{1}{3}(x + \frac{\pi}{2}))$

$y = 3\cos(\frac{1}{3}x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したもの。

$\frac{\text{オカ}}{\text{キ}} = -\frac{1}{2}$

$3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6}) = 4\sin x$

$x = 0$ を代入すると $3\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ であり $4\sin 0 = 0$ なので解ではない。

$f(x) = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6}) - 4\sin x$ とする。

$0 \le x < 4\pi$ の範囲で $f(x) = 0$ となる $x$ の個数を求める。

グラフを描画して考えると、2個の解を持つ。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{\pi}{6}$, 周期は $6\pi$

(2) $x$ 軸方向に $-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したものであり、解の個数は2個。