実数 $a$ に対して、xy平面上の2つの曲線 $C_1: y=x^2$ と $C_2: y=-x^2+2ax-a$ が与えられている。 (1) $C_1$ と $C_2$ が共有点を持たないような $a$ の範囲を求める。 (2) (1)で求めた $a$ の範囲において、$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線が2本存在することを示す。 (3) (1)で求めた $a$ の範囲を動くとき、$C_1$ と $C_2$ の両方に接する2本の直線の交点が描く図形を図示する。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、xy平面上の2つの曲線 $C_1: y=x^2$ と $C_2: y=-x^2+2ax-a$ が与えられている。

(1) $C_1$ と $C_2$ が共有点を持たないような $a$ の範囲を求める。

(2) (1)で求めた $a$ の範囲において、$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線が2本存在することを示す。

(3) (1)で求めた $a$ の範囲を動くとき、$C_1$ と $C_2$ の両方に接する2本の直線の交点が描く図形を図示する。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ と $C_2$ の共有点の $x$ 座標を求めるには、2つの式を連立させます。

$x^2 = -x^2 + 2ax - a$

$2x^2 - 2ax + a = 0$

$C_1$ と $C_2$ が共有点を持たない条件は、この2次方程式が実数解を持たないことである。つまり、判別式 $D$ が負であれば良い。

$D = (-2a)^2 - 4(2)(a) = 4a^2 - 8a < 0$

$4a(a-2) < 0$

$0 < a < 2$

(2) $C_1$ に接する直線を $y=mx+n$ とする。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、$y'=2x$ より、接線の傾きは $2t$ である。接点は $(t, t^2)$ なので、接線の方程式は

$y-t^2 = 2t(x-t)$

$y = 2tx - t^2$

これが $y = mx+n$ と一致するので、$m=2t$, $n=-t^2$ である。

$C_2$ にも $y=mx+n$ が接するので、$-x^2+2ax-a = mx+n$ が重解を持つ。

$-x^2+2ax-mx-a-n = 0$

$x^2-(2a-m)x+a+n = 0$

判別式を $D'$ とすると、

$D' = (2a-m)^2 - 4(a+n) = 0$

$4a^2-4am+m^2-4a-4n = 0$

ここで、$m=2t$, $n=-t^2$ なので、

$4a^2 - 8at + 4t^2 - 4a + 4t^2 = 0$

$8t^2 - 8at + 4a^2 - 4a = 0$

$2t^2 - 2at + a^2 - a = 0$

この $t$ に関する2次方程式が異なる2つの実数解を持つことを示す。判別式を $D''$ とすると、

$D'' = (-2a)^2 - 4(2)(a^2-a) = 4a^2 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 8a = -4a(a-2) > 0$

なぜなら、$0 < a < 2$ なので $-4a(a-2) > 0$ である。

したがって、$t$ に関する2次方程式は異なる2つの実数解を持つので、2本の接線が存在する。

(3) 2本の接線の交点を $(X, Y)$ とする。接線は $y = 2tx - t^2$ と表される。異なる2つの接点の $x$ 座標を $t_1$, $t_2$ とすると、

$2t^2 - 2at + a^2 - a = 0$ の解が $t_1$, $t_2$ であるから、解と係数の関係より

$t_1 + t_2 = a$

$t_1 t_2 = \frac{a^2-a}{2}$

2本の接線は

$Y = 2t_1 X - t_1^2$

$Y = 2t_2 X - t_2^2$

辺々引くと

$0 = 2(t_1-t_2)X - (t_1^2 - t_2^2)$

$0 = 2(t_1-t_2)X - (t_1-t_2)(t_1+t_2)$

$2X = t_1+t_2 = a$

$X = \frac{a}{2}$

また、$Y = 2t_1 X - t_1^2 = at_1 - t_1^2$

$t_1 = a - t_2$

$Y = (t_1+t_2)t_1 - t_1^2 = t_2 t_1 = \frac{a^2-a}{2} = \frac{4X^2 - 2X}{2} = 2X^2 - X$

$Y = 2X^2 - X = 2(X - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8}$

$0 < a < 2$ より $0 < X < 1$

したがって、交点の描く図形は放物線 $y = 2x^2 - x$ の $0 < x < 1$ の部分である。

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < 2$

(2) 解法の手順を参照

(3) 放物線 $y = 2x^2 - x$ の $0 < x < 1$ の部分