関数 $y = 3\cos(ax+b)$ のグラフ $C$ が、点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $(\pi, 0)$ を通る。$0 < a < 1$ および $0 < b < \frac{\pi}{2}$ が与えられている。 (1) $a$, $b$ の値を求め、関数 $y = 3\cos(ax+b)$ の周期のうち正で最小のものを求める。 (2) グラフ $C$ は、関数 $y = 3\cos ax$ のグラフを $x$ 軸方向に平行移動したものである。平行移動量を求める。 また、$0 \le x < 4\pi$ において、方程式 $3\cos(ax+b) = 4\sin x$ の解の個数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\cos(ax+b)$ のグラフ $C$ が、点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $(\pi, 0)$ を通る。$0 < a < 1$ および $0 < b < \frac{\pi}{2}$ が与えられている。

(1) $a$, $b$ の値を求め、関数 $y = 3\cos(ax+b)$ の周期のうち正で最小のものを求める。

(2) グラフ $C$ は、関数 $y = 3\cos ax$ のグラフを $x$ 軸方向に平行移動したものである。平行移動量を求める。

また、$0 \le x < 4\pi$ において、方程式 $3\cos(ax+b) = 4\sin x$ の解の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ を通ることから、

$3\cos(a(0)+b) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\cos b = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 < b < \frac{\pi}{2}$ より、$b = \frac{\pi}{6}$

点 $(\pi, 0)$ を通ることから、

$3\cos(a\pi + b) = 0$

$\cos(a\pi + b) = 0$

$a\pi + b = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n$ は整数

$a\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + n\pi$

$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + n = \frac{1}{3} + n$

$0 < a < 1$ より、$n = 0$ なので、$a = \frac{1}{3}$

よって、$y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6})$ の周期は $\frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$

(2)

$y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6}) = 3\cos(\frac{1}{3}(x + \frac{\pi}{2}))$

これは $y = 3\cos(\frac{1}{3}x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したものである。

したがって、$-\frac{\pi}{2}$ が $\frac{\text{オカ}}{\text{キ}}\pi$ に相当する。

$-2\pi < \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}\pi < 2\pi$ の条件を満たす。

方程式 $3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6}) = 4\sin x$ について、$0 \le x < 4\pi$ での解の個数を考える。

グラフを描画して概算するか、数値的に解く必要がある。グラフを描画すると、交点は2個となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{\pi}{6}$。周期は $6\pi$。

(2) $x$ 軸方向に $-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動。解の個数は $2$ 個。

ア：1

イ：3

ウ：6

エ：6

オカ：-1

キ：2

ク：2